金沙js77999送彩金谓之赌徒,概率论与数理总结

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消失的正方形

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这是数学游戏大师马丁·加德纳在《从惊讶到思考》一书中提到过的例子。重新摆放分割的小块图形后,上面的正方形中少了一个小方格,它去了哪里?我们不妨实际操作一下,做两个全等的、上面没有孔洞的正方形(做的越大越好)。把其中一个按图中的式样精确地剪成所需要的五块,然后重新安排一下,拼成右边的样子的。最后把它放到未经剪切的正方形上边,让二者的上边和两侧边都重合。你会发现,其实带方格的图形不是真正的正方形。它实际上是长方形,比正方形高
1/12。它的底部多出一个 12 * (1/12)
的窄带,其面积恰好等同于消失方格的面积。

p6,例1.1

过年,我叔与朋友打牌,小赌了一下午,我旁观了全程,颇有意思,有感特记。

我们知道赌博就是概率的游戏,也正是一些奇特的赌博结果引起了数学家帕斯卡(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个赌博中的概率趣题,告诉我们的道理就是,就算打赌,也要精“打”细算。

所有三角形都是等腰三角形

这是一个颇为古老的数学把戏。最近又开始在网上流传。不妨来看看这个神奇的结论是如何得到的。

在一个任意△ABC中,做A点的角平分线,交BC边的垂直平分线A’O于点O。然后过O点分别做AB与AC边上的垂线,垂足为C’和B’。

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显然△AC'O≌△AB'O,所以 AC' = AB', C'O = B'O又因为 BO = CO, ∠OB'C = ∠OC'B所以△BOC'≌△COB'。  推得: C'B = B'CAB = AC'+ C'B = AB' + B'C = AC,即△ABC是等腰三角形。

正如前面所说,平面几何的谬误大多都是在有误差的图上做文章的。实际上,角平分线会与其相对的垂直平分线并不相交于三角形内,而是交于三角形外部。所以即使有AC’=AB’,BC’=B’C,我们也能一眼看出AB=AC’+AB’,AC=BC’-B’C。

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问题简述:甲乙赌博技术相同,先赢3局者胜。甲二胜一负时终止赌局,如何分赌本?

牌局是四人的,可以用甲(我叔)、乙、丙、丁分别来代称,就从甲(我叔)角度来看,乙是上家,丙是对家,丁是下家,四人围一桌,赌博风云也。

完美的赌博

NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概率为
p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q
都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!

方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y
元,输了就失去 x 元,只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y
只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为正,就会跟我们打赌:

p * x - ( 1-p ) * y > 0q * x - ( 1-q ) * y > 0

加上 y>x
的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就是一个必胜方案。如果p>q,
解就是下图中的蓝色部分:

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看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?

金沙js77999送彩金谓之赌徒,概率论与数理总结。图里藏人

下面让我们见识一下什么是“大变活人”。

先看两排爷们的脸

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把上面的图从中间剪开,然后挪动成下图那样,怎么就少了一个人?

再看下面这张图。

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上图仅仅通过两个动作,剪切和互换,就让人数在十二和十三之间变来变去,这是怎么回事?

眼尖的读者或许已经发现了,这种精心的安排其实是移花接木。以“爷们脸”这幅图为例(这幅图较简单),第一个人变成了圆下巴,第二个直接变成了双下巴,第三个的鼻子变大了,第四个的鼻子变长了,第五个换了一个表情,多了眉毛。

因为整个图的面积不变,但是脸个数少了一个,导致剩下的那些脸都变大了一些,其结果就是所有爷们个个是长脸。这种传递式的面积分配,很容易通过上色标记的办法清晰地辨认出来。

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而至于第二个图,不得不说那是一个精妙无比的设计。不妨在图片变动之前,对十二个人编号。

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再看看移动之后的号码变动情况,其中上身和下身都对应着各自的编号。

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如果仔细看,便会发现移动之后1号小小地少了一撮头发,10号的鞋底也被削了一层。他们各自都被从身体的某个部位切割下一点东西,活生生拼凑出了一个人。当画面上出现13个人时,每个人都比出现12个时要矮
1/13。

两幅图的原理都是通过累积很多次细微尺寸的变化,最终改变图中物品的数量。第一幅较为简单,而第二幅用十二人切合成十三个,做了十二件事(从每个人身上“偷”一点),但却只用了两个动作!其精巧程度实在让人佩服。

有趣的是,有一种古老的伪造钱币的方法正是以这种原理为基础的。按照上面的方法可以类似地把九张钞票分成18份,重新安排成十张。但这样伪造的钞票很容易被侦破,不建议读者采用。因为票面上特殊的两个数字串,钱号在这种操作下已不相匹配。在所有的钞票上,这两个数字串都是位于相对的两端,一高一低。这正是为了挫败这种伪造企图。

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  1. 首先回顾下国外那本《概率论基础教程》关于分赌本问题的讲述。

牌的玩法是类似斗地主的,打牌时抽选四张盖着为叫庄牌,谁叫的码注大谁获得叫庄派,下牌的规则自由,各家只能下对应的牌型,除了单双、对子、三带二、四带一,还有五张以上的顺和连对子等等,“2”最大,不打花色(一种地方特色的赌法)。在我看来,甲和乙偏向冒险类的赌徒,丙属于冷静理智型的赌徒,丁则是胆小谨慎类的赌徒。

三张卡片的骗局

这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。

事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:

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当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色的情形占了2/3。

这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François
Bertrand)提出,因为这个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand’s
box paradox)”。1950年美国数学家沃伦•韦弗(Warren
Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin
Gardner)称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。

看似一样的信息,不一样的结果

一位母亲有两个孩子,有人问母亲的朋友A,两个孩子都是女孩吗?这位朋友说:“我不清楚,但有一个是女孩”。母亲的另一位朋友B说:“我上次去她家,看到一个女孩”。朋友A听到,表示不屑:“这和我说的不是一样的吗”。

看起来这两个信息没有差别,但它们真的是等同的吗?

答案是:不同的。由A给出的信息可以推出两个孩子全是女孩的概率是1/3,而由B则是1/2。

让我们仔细分析一番。根据A的叙述,我们知道“两个小孩中有女孩”,而两个小孩的性别组合有四种情况:男男,男女,女男和女女。因为知道了两个小孩中有女孩,所以可以排除“男男”,两个小孩都是女孩的概率便是1/3。

而B的陈述是看到一个孩子是女孩,问题实际上就转化成了“另一个孩子是不是女孩”,因此两个小孩都是女孩的概率是1/2。

金沙js77999送彩金,为什么呢?这是因为在进行概率计算的时候,
不确定的描述往往意味着更多的可能性
。一个类似的例子是,打牌的的时候,如果有人说,“来打个赌吧,我现在有一张A,猜猜我还有没有更多A?”这种情况下他很可能会输,但如果他报出抓到的那张A的花色,“我现在有一张黑桃A,猜猜我还有没有更多的A?”那结果就截然不同了。死理性派之前对此有过一个
详细的分析
。前一种情况下,有更多A的概率是 37% ,而后一种有更多A的概率一下就跃升为
56% 。面对这样反常的结果,不了解概率论的人,都会被吓一跳。

类似这样“想不通”的例子还有很多。比如著名的三门问题。换还是不换?这是一个让无数人纠结的问题,据说很多人在看了详尽的分析后,依然觉得有违常理,不能接受。“最高IQ人类”的玛丽莲在当年公布自己的答案——换一扇门时,立刻引来巨大争议,无数人觉得她回答错了,并写信“纠正”她,这些记录都保留在它的个人网站上。就是直到今天,这个游戏依然困扰着不少人。

   甲要赢得赌局,还需要赢M=1局;乙要赢得赌局,还需要赢N=2局。

四人的打牌,纯属是小老百姓闲来无聊找来乐子进行的参杂着赌博性质的娱乐活动,是不同于烂赌大赌的违法犯罪活动的,这也是中国过年一种特色节目,实在是有趣,贴近乡镇百姓的真实生活日常。换位思考,也得出几点耐人寻味之处。

如此不平凡的黑桃A

有时候我们赌博一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我还有没有更多的A?”

很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:

没有A的情形:C(48,13)至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)恰好有1张A的情形:4*C(48,12)至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)

事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:

P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/(C(52,13)-C(48,13))≈37%

这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:

有黑桃A的情形:C(51,12)没有其它A的情形:C(48,12)还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)

事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:

P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。

掌握了概率论,赌博就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道你是传说中的死理性派!

双赢的赌局

甲和乙各自收到女朋友送的领带。两人见面开始争论谁的更贵,最终决定打个赌,去商场调查,谁的领带贵谁就算赢,
而赢的人要把领带送给输的人作安慰

甲认为他在这个赌局中输赢是等概率的。如果赢了,那么失去的是自己戴的这条领带。而如果输了,则会得到一个更贵的领带。所以这个赌局对他是有利的。

当然乙也可以这样想。但问题是,打一次赌怎么会同时对双方都有利呢?

这个著名的问题由法国数学家莫里斯•克莱特契克在他的《数学消遣》书中首先提出。他指出,要想这个游戏公平,必须限制条件。比如甲乙二人对对方女朋友的阔绰程度一无所知等。如果说甲的女朋友出手相对更阔绰些,那么甲的领带就有较大的可能比乙的要贵,他就更倾向于输掉这次打赌。

这个例子后来衍化成著名的钱包悖论,道具由领带变为了钱包:由第三者计算甲、乙二君钱包里面的钱,钱少者可以赢走钱多者的钱。

实际上,甲、乙二人的错误在于,他们只根据“可以赢更多的钱”这点,就做出这场赌博对自己有利的结论。但这场赌博对谁有利,应该以谁可以“赢得这场赌博”而不是“可以赢更多的钱”来判断。以赌谁钱包里钱少为例。判断谁有胜算,必须注意两点:

• 必须计算期望值。• 钱包里有多少钱是很随机的。

所以正确的逻辑应为:

• 如果我的钱包里有较多的钱,那么我参加这个游戏,会输掉较多的钱。• 如果我的钱包里有较少的钱,那么我参加这个游戏,会赢得较多的钱。

这两种情况的可能性是均等的。而且,由于总有一个人赢得另一个人输掉有更多钱的钱包,这个游戏是均衡的。所以它的结果应该是甲、乙各有一半的可能获胜。也就是说,这个游戏
是公平的 ,并不对哪一方有利。

广大群众对女孩子概率问题提出了很多疑问,作者严酷的魔王为此写了一篇日志,专门解释了这个问题。欢迎大家移步
这里 围观和讨论。

   这样,两人最多还要赌M+N-1=2局。

赢牌取决于哪,是人品运气,还是实力技术?在我看来,这种消遣性的小赌,如混泥土一般掺杂着过多些水泥的技术活儿的。且不论那些心算能力高超的逻辑推理变态,赌局中,哪个赌徒敢说没有自己的小九九?若心机谋划全面深刻,技术心理博弈上风,胜率自然就会上去,君不见有哪个赌徒只是坐等而将自己的钱财寄托于运财神?

 
(最坏情况下,甲又赢了M-1局,乙又赢了N-1局,此时只要再赌一局即结束,所以最多还要赌(M-1)+(N-1)+1=M+N-1局。)

这是例子:甲,一开始雄心勃勃,与乙对着叫庄,大起大落,经历了多次的赢局;丙,偏向冷静对弈,有了集小胜为大胜;丁,懂得审时度势,在逆境中崛起。这是那天下午前半部分的整体局势。

  1. 书中的解法依赖于以下前提:

大多数的赢牌,多是因赌徒采取的策略十分相关的。一局进行时,丁抓一手好牌,就等着他人上钩。大家在你来我往的言聊中,他突然激动地亮出一对子“就等你们打对子了哈。”对家乙见着,顿了顿本想打对子的牌,下了单牌,结果到丁下牌时,他果断下了最大的单,取得主动后,然后一手牌全下了。众人囧笑。

   
即使甲或乙在赌满M+N-1局前已满足赢得赌局条件(例如甲赢了第四局),继续赌满至M+N-1局不影响赌本分配结果。

有时,好牌或赢局与否,差的就是一次悔若当初的冲动。往往输的一方,不禁会产生一种早该的后悔心理,难免道“早知道我就……”想想,这有些可笑,但是人人都难免的。一次,甲和乙对垒,进行高价叫庄。27,28,29,30!嗯31,好33的话让你,33。最后翻牌一看一对,叫到的会心一笑,结果赢了大局,对垒的呜呼哀哉:“如果这局我坐庄,就赢定了。”

  1. 如果不考虑上述前提,我们也可以有下述解法:

一场局的输赢或许如此,但在旁观者看来输赢是有数的,好的牌是若下不好,输,最多小赢;自己牌好而对方也好,看运气了;可若抓一手烂牌,也并非必然输定,那就要看心理博弈(也是策略)。又一局,甲高价叫庄成功后,好一会才理完牌后,沉默得可怕,打个让其他三家都郁闷的单牌“3”。这一局,其余三方的牌倒是下得红红火火,到了各自就抓着一两张牌后,且被甲逮个主动,瞬间就一溜的打掉了一手带双的小牌,赢了!?不知他们作何感想,我倒挺无语的。

   
第四局甲或乙赢的概率都是1/2;若甲赢则无需继续,若乙赢则需继续第五局。

有赌博成分的局,必然有运气作怪,至少对赌徒来说是如此的。赌徒也都会说:“废话,当我是傻子啊,没有运气成分的赌博,还叫赌么?”想想也对,我们常说人定胜天,注重人的主观能动性,但正是存在这种不确定性因素,才让赌徒始终抱有“搏一搏单车变摩托”的冒险和侥幸心理,这是赌徒又爱又恨要死要活的。用事实佐证,便是乙在后半段的赌局中,连连五六局赢牌,来了个咸鱼翻身华丽大转身的崛起。这,我实在不敢凭说技术实力策略因素就妄下断言的。时来运转,谁确定呢?

    第四局乙赢的条件下(条件概率),第五局甲或乙赢的概率同样都是1/2。


    因此甲最终赢的概率为1/2 + 1/2 * 1/2 = 3/4

有时候,赢了局,没赢多少牌;赢了牌,不一定赢到既得利益。这话说得玄乎,有些可笑,但是事实。我所说的既得利益,指的是赢局的人明确本该获取的利,即是钱财。可实践中,最难搞点的就是“明确”和“获得”。关于明确,是指口头约定还是书面固定?口说不凭据,固定下来就改不了,改不了难道不能钻理解的空子?所以,法律也只能是明文规定,更别说执行(获得)的情况。讲回“赌”的情况,我用这例子说明该明确了。

    乙最终赢的概率为1/2 * 1/2 = 1/4

话说,乙连连赢局之际,人人负他的债务。

4.
事实上,(2)的前提是一定满足的,因为如果某人在赌满M+N-1局前已经满足赢得赌局条件,那么即使继续赌满至M+N-1局,另一人也不会满足赢得赌局条件(因此也就不会对赢得赌局的概率产生影响)。

甲没零钱,说:“先欠着,7块。”

   
比如甲提前赢了M局,由于只赌M+N-1局,另一人最多赢N-1局,达不到赢N局的条件。

又大赢了一局,本该给9块,乙对甲说:“上局欠着7块吧,加上……”

“哪里有7块,14块,我先给你10块。”甲打断着道。

“怎么是14块?”乙连忙道。

“我算给,上局5块加上这局的9块,不是14块么?”甲略带嘲讽,“我先给你10块。”乙收了钱,便开下一局。

那么,现在情况很明确了吧?

再一个例子,最后一局后,丙小赢一局,甲输2块。很自然地,甲把仅剩的一张1块零钱推给了丙,便收摊了。丙便随意收了款。之后,四人便结伴去打球了。懂否?

其实就这般回事,人心和赌性;不是个回事,图个乐和罢了。这般赌徒者,赌钱图乐也。无论当局者是否清楚自己被坑了,但总不会吭声究底的。我们路走多了的,类似经历难道未有适逢?不过想想算尔,计较就没意思呀。而我真正想说的是,人际交往中,猪朋诤友各有,你是怎样的人,更多便投向哪类朋友圈,自己始终是比较了解圈内朋友的。甲乙丙丁四人,算是物以类聚,在一起打牌消遣娱乐,难道还真想在对方身上大赚一笔?哈,谁较真谁就真输了。

就题论题,这是赌性的一种体现。这,也称之为赌德,可难免戴上个华饰的帽子,令人有些不齿。我以为,这赌性,不仅仅关乎胜负盈亏,更是为人的一种表现,关乎做人!俗话说愿赌服输,不仅仅要服输,还得付债啊。小小这一把私心,于利是做人更世俗圆滑了,于弊则是一种不良的人格习惯,如何看待便决定你是怎样的人,想要成为怎样的人。但总归不能成为好赌又赖账的人(这般人,我想实在也没心情看到这里)。

小赌虽好,怡情动气尔,可真是赔了家本垫了性命去博呢?这可就不是可笑的事情咯。这例子或许不太恰当,但可以体现,即典型的最后赚一笔(一次捞回本)的侥幸心理。

“好,就拼完这次,27。”丁大声地叫庄。

剩下着丙在考虑,他还是摇了摇头放弃了。开牌一看,丁顿时大呼一口气,颇有失望。之后,牌局进行得平平稳稳,最终是丙赢了局。甲输2块,乙输3块,而丁是输了27加6块,共33块!最终是赔了些老本。不是出乎意料的一局,却是可笑可叹的结局。

赌徒,终究是上不了档次的,人人都处于“赌”的生涯,个中滋味结果看法不同。可万里无一,没见着谁就成了赌神赌圣的呀,就连赌个大赢的怎么都甚少矣?本人不敢妄语,赌大家的忍耐底线,谈到这算是适止……

ps:过年前后,总有些事忙着,自己也懒了下来,捣鼓至现在才发了这篇,感觉实在对不起自己。但是,抱着对生活的热和理想的追求,我还是要坚持下去的,期待一路有你们。

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